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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Y86-5; +  
F-}]E*QrX  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. F Uu,JbA6  
kj~=6\Dl~  
　　1、三角函数本质： b6`</ ,  
j g2[`  
　　三角函数的本质来源于定义 X sH)s5y  
cAW@#Sg  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 P){_ :g  
v(&&V4h^  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 pkz0.Q*G  
%,-;& %  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： l1 {1>hL  
MK~/-YeV  
　　推导： !e_d 4<"  
mO+svy0^(  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ~plkBE  
HZ#l:x6  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) sI~ =uQ  
]l"b Njw}  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) >dELN' S  
WQi0Sb{eiK  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 bL3?70W5/  
)kJ {VqT\  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） J#lo}2Bs  
X<!oGbj:  
　　[1] *76*9l2N  
['H$N@m*)  
　　两角和公式 4c N8d.  
DJby{uT  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB /2"1$Bch  
(;tvP1  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  2v&iswp\-!  
4^SVmWTQ  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB (of6;ol*O/  
>!|MyB  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ,%lym  
)."^b`+ tD  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) #l'LDev  
ox@.nl  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) qnzW23n  
l&/ :29KV  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ?QIPlgFLD  
>j&'E`h  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 7<BD3G6  
!>4mR/o6  
倍角公式 #:zc#!FS  
-',#]G2 M  
　　Sin2A=2SinA•CosA qTF.NE11  
VZT* x ov  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 "+W:9;?  
Qhr %T\  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） *l\9n<c  
H99 9\R  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） EuXJ#2O9  
rU" /c=  
三倍角公式 f4i%7>2  
" S, q]  
　　 Gxy0s%ys  
'V^@CfH  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) "M|?0|3-B  
{zq\ca$VD  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) VA ,  
cS@z`/~~  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ROu p[  
ZT02t%  
三倍角公式推导 ?pn|}v  
nag(SGT  
　　sin3a K it,'RL  
Sse y'~n@x  
　　=sin(2a+a) iGvTI`qZ  
iGPJUo@z;  
　　=sin2acosa+cos2asina c?PJZ,D(  
G ocMfp$  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina C%|[_q(5  
Eh/+y\n  
　　=3sina-4sin³a !)LP8b8E  
'^C*Uk ^B.  
　　cos3a  N??IvE  
GH ku4`iH  
　　=cos(2a+a) rM*NXDW/k  
u_90(LNi  
　　=cos2acosa-sin2asina 9,I6'wwP&  
&trFue'?  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ~ k   
5$Sq8^fNY  
　　=4cos³a-3cosa vf^NB 7J'  
)W]Ov;r/x  
　　sin3a=3sina-4sin³a DU;|u+R  
 Z& >:ak  
　　=4sina(3/4-sin²a) 9y) _!]  
D;ZiEZCX  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] (2?g ~RP  
$frrnC2|[  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 2rc";2g  
- 'o-"MG)  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) zob@uNY  
X]U;vTp}\  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] l5|Z/V#  
-*Sy\, =  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) y/2E?P  
THqnW(ag}  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 5 G\?MZD   
oCxjPF2>  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 9T$*954j  
T?|)sc  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] J~JcnA z%  
He7~Kk0J  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) <D;"v9eg  
{i"Dg$ti~  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) paRIDbv  
!%_LfHTOS2  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 1G4Q?LW/  
oTtJ#S"  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) >JV`"Q8-e  
{ZCS ,;O`C  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] NYFZAkO  
jUsLWoQJ<h  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ,z8fz(1zz  
a'|keUM(7%  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) dc ywf#^  
D%CaXB~=2[  
　　上述两式相比可得 YC1nE2ll  
EL=GCu6tJ  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) DO},,|I  
uL${by  
半角公式 W5#|T.Q  
` 1+B@F  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 2R%=YEM  
Rt :`,u  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. J$K. |2b  
\ >?8    
和差化积 0 Gh]@VA  
u}v:7,  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] % FAnjW)J  
spKNH1 JP  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] jcu9vVn-g  
'@(V~2{-  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] (bc%"@  
m i~@m-9  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] sd6QV_ m  
^hC(gL7o  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) h?e~ *.1-  
N)/o!~p,L  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) oX,U;NuL%  
jM -[ZXN  
积化和差 [-2ucYa!  
= H}8D+KV  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] sOky?P4  
#bn0?J_V  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] f(0y1Ul@  
qZ g`ra} 6  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] [M{b),&  
V!-v|u=o  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Y?.3.  
b?k m  
诱导公式 st zrQGHc,  
En?.{K*7^W  
　　sin(-α) = -sinα ,n"mpt  
XL^P,t:1,  
　　cos(-α) = cosα k$uw/(onU  
3h5p<  
　　sin(π/2-α) = cosα +gMO%c3  
|i{bD  
　　cos(π/2-α) = sinα _=?qS+U  
m4r5]=  
　　sin(π/2+α) = cosα SjTG@U<  
RV$9&|4a)  
　　cos(π/2+α) = -sinα IGp{Ekz  
1h)+( X  
　　sin(π-α) = sinα eFB! Oa.G  
&t]A2 E  
　　cos(π-α) = -cosα BiSuB:e  
+M0 oF4  
　　sin(π+α) = -sinα 8 nIu8#s  
G(}&, jq  
　　cos(π+α) = -cosα AhH}'*G_  
\A*(ud=PIW  
　　tanA= sinA/cosA PDzO    
WM=.GRL}  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα xw]Ew(uN  
\-]RL)F9  
　　tan（π/2－α）＝cotα >Du#\2w  
O>6t^Pl  
　　tan（π－α）＝－tanα 09p pfb  
2dP%vPeI  
　　tan（π＋α）＝tanα 0; :3hI  
vNf_Zx} I  
万能公式 yc~<PFc  
Y`qmO#pH  
　　 K! qo2M  
x?Fd.';UY%  
其它公式 7yQ';}l=  
p"4gnZwi  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 {l9>)bzC/g  
dBYs lSQ|a  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 A$x bi   
qRy&7;S<x  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 J-?V$< AC  
ke"W1Gi6  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 e=UjA#}RIx  
s.n  
　　对于任意非直角三角形,总有 vLD# &FE)  
sh4w\F69  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC p`cAiLEG  
8M@- z:Hh#  
　　证: 7nt?dvUi-  
.aw`rv  
　　A+B=π-C 082%@5bK9  
dN  0j~  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 4Y-_^9G}  
1$[ !"]  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) -mdwT-L8  
y&'0ad8  
　　整理可得 CU~gN^'0{  
rA-|~fYG  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC P wpa q  
{K4 Qy3D  
　　得证 U$(?f(^.  
v-aAKw* 6  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 YWz:> R[v`  
L{3G&'A  
其他非重点三角函数 Uaiq&q[jU  
iWv1sN-E  
　　csc(a) = 1/sin(a) RX_54ug  
J\Z|W|4  
　　sec(a) = 1/cos(a) L%lD Czx  
s\rVn: 3c  
　　 ,|-Nb#NqV  
|&W?!#  
双曲函数 OdG!pz   
lk<oF_  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 2e\q*r4Z 0  
$Cf|R^{,  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 VUnkJi!Z  
& y L  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) k?8\CC+2P  
6VqTYdQ  
　　公式一： Hp3C7]W [  
u_k} :ME  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： cnI?H'/(  
OTHz`q  
　　sin（2kπ＋α）= sinα FdNT$_w)  
1zV Bh}  
　　cos（2kπ＋α）= cosα |;]<0 1  
a!@(^#W  
　　tan（kπ＋α）= tanα @uB7 ~$,  
Rfr3 b,zno  
　　cot（kπ＋α）= cotα wk8WTk_YH  
:Vr'oycX  
　　公式二： A#Z*^,| 6  
#L0$ V=  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： "(3&]s  
5h^U!lr  
　　sin（π＋α）= -sinα q6':7k  
]VY9*)$l~  
　　cos（π＋α）= -cosα v# .}DF5*  
&Y`xS,"-  
　　tan（π＋α）= tanα +#`UN %.5  
7j]lT {r  
　　cot（π＋α）= cotα M9%cDVV  
`!E6'q  
　　公式三： $NX~K:"M  
[x yh\y]  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Dc;:-$uF.  
Q-1+60fE?x  
　　sin（-α）= -sinα bm4l  
> g Rn.  
　　cos（-α）= cosα P]IW8e'!q  
Z@JI@a!vR  
　　tan（-α）= -tanα aUj1sP  
xVjUh8!K  
　　cot（-α）= -cotα D+SgL+5  
p9_sh#  
　　公式四： Kd |d CVQ  
K<nVLmd  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： zo +=0`a  
9GLv==)  
　　sin（π-α）= sinα +^/=cI  
>Zlc  
　　cos（π-α）= -cosα K L0af  
C]\;' ?A  
　　tan（π-α）= -tanα Q mU"$gf  
_h&V =fm"  
　　cot（π-α）= -cotα skO!2G/Lm  
bfy 2i>stf  
　　公式五： &vVM*!7A  
V:I| 9 zhb  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： o@i(PW] -  
smy] zK S  
　　sin（2π-α）= -sinα i<,|HGxi  
v764zd5[  
　　cos（2π-α）= cosα o uM V  
@ bUeG;  
　　tan（2π-α）= -tanα .xI ?G1"  
xPEwwMdT  
　　cot（2π-α）= -cotα O*QP$tkQ  
.v8@LJ$  
　　公式六： fP`ETs;\j  
3;MeE.?J  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 6 Q2\t  
P qZf5C)O-  
　　sin（π/2+α）= cosα 2F|S'scrQj  
L&qU[?V"  
　　cos（π/2+α）= -sinα Y yL 6  
q%w^S@  
　　tan（π/2+α）= -cotα QQv/n:  
VuU72&L?s  
　　cot（π/2+α）= -tanα e&r[)k_v  
'd#Y"5  
　　sin（π/2-α）= cosα +{j@ (#  
<^DW$\  
　　cos（π/2-α）= sinα xwuR'|s  
.G{XL  
　　tan（π/2-α）= cotα ;TR(gP0C  
OwS.Q:7  
　　cot（π/2-α）= tanα WX[{G.Q  
KQ?+QNc:  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 8X)nBHGwu  
c@<5ee/z  
　　cos（3π/2+α）= sinα WNuoa  
t[\W'lG  
　　tan（3π/2+α）= -cotα AfqLi0v  
qeFljv"Z  
　　cot（3π/2+α）= -tanα $Q<Knp  
+ P_0  
　　sin（3π/2-α）= -cosα dKC`P#  
&`V.;*s)  
　　cos（3π/2-α）= -sinα u,=Cf~o-  
`X:<-1c*  
　　tan（3π/2-α）= cotα ^!l`FJ5F<  
<Evl1C4  
　　cot（3π/2-α）= tanα @ X_:RcQI  
m)pt+F}  
　　(以上k∈Z) oI gv@&!?  
I:eQ`mTu1  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 KOr[e5  
s02^=-%R  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = aQbib\t  
%RgxVy^F  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ,)\&?Mm  
C4.`;+  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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