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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Oj-rsISj  
2U8{zS  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. !H.[JR+[o  
~$D3bn  
　　1、三角函数本质： <u2e.DOP  
@:?Q@V|  
　　三角函数的本质来源于定义 n/^FH$hir  
\yt,}vrV  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 b4<lMN[Q  
61wYt*~  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 dZK?b-RNi  
q3 =EbP  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： '3J.J  
F?>*%qmq%  
　　推导： :W`gb 0x  
Uvz"cH\zq  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 s|MbB?m}  
~l^&1lEYIv  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))  $p )X'dn  
GU"Od  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) @'z!#&GY  
n1My$8)+}|  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 TQwPpx  
Fsi/ .8P  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） >+bl\ H  
p]c[ rk  
　　[1] u|&B.U)yqY  
IWkvW#90  
　　两角和公式 $ ^|$X%L  
inJ_[j.  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB A h 6X>  
2=7p$,  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  sl+ec_LUD)  
W7{%t#i  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB h1{:@}m  
\XD:IaV  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB TA :Bw?!v  
tR@hK-TG  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ]ilnxWLRoG  
D &tjg  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ] H%t42M  
I*TN's  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  { >wQ\&Qm  
3(:}eLWHl`  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) x %~W~ 6  
ra I6 t  
倍角公式 s<UqXjC  
W5q$!  
　　Sin2A=2SinA•CosA cI.< f3.  
md6a@.3Cu  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 * N>B8  
49)>[Dg  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） |El  ]  
,E N1  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ?{>D t  
mQlR+V  
三倍角公式 |{1[-i  
a3&hhX)y  
　　 Hz;=yeGXY  
3,_P_;v  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 7, ':e3  
C,#as,  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) )gY}olo6b  
r1Y?K6X%  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) a/Y~ ~1c  
<|gRX   
三倍角公式推导 ~3e9XYp3-  
h#EL)AMm  
　　sin3a '9!1`x  
EE~X[W6  
　　=sin(2a+a) g *mX j(Sj  
\Ljp1em  
　　=sin2acosa+cos2asina /I)0 C[CZk  
6CV4xW|z"  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina vx-2a5m`|  
% @aKDM  
　　=3sina-4sin³a [Q*mrWf  
=Dg nLiD  
　　cos3a !>VS41/  
V b4RgWG  
　　=cos(2a+a) DJS/)n  
Te3F%Q/e  
　　=cos2acosa-sin2asina i~/Y`'-}  
vqe+}` @.  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 9}~PQ$sN'  
nDX ZfdYV  
　　=4cos³a-3cosa x*oEk}7  
WVmLp,   
　　sin3a=3sina-4sin³a qH0(O m)#  
CseV Q{I|M  
　　=4sina(3/4-sin²a) p.q,zIgx.  
o2qF l!  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] e??Xj+qz@  
m+$1lH=Hh  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) " 5JK}r ZO  
3I0-"naM  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) :Hv!rp>1lm  
j(cA Cq^F  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] c/ 8LA|I  
SQZ&A;a  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ?6X+s[Zn  
Qh6rm;>  
　　cos3a=4cos³a-3cosa \ .:x*Rg6  
{{9 ^KB;  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Z8Ta?`Ln  
@k" zA"gc  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Mh_d!  
Rf'z{n"pd  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) `D V Y  
_L6_VK  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) T0Ew@b@  
U,* X  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Q9J 1LrEH  
JP` 7d w  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 0}^1&D5|  
)SWPC  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 1 ;0h3B.tT  
ib$n'\d(2  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ocKx{G  
KGXL\E59  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Fhg'/ !`i  
(U09)wl  
　　上述两式相比可得 m//ZLWP  
"2g!cl.4  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) -&3o}T  
)/%7 _bo  
半角公式 "tVDP$c  
sI}nHDt  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); FO-O}l  
I! tdCse  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. o/W(W w  
8!<?_CMP  
和差化积 [{fWqwxo1  
qN %Uo2xRK  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] (km6LnOW7  
KM,V @s  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 6K`mr^  
EK?,\Z;4p  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] vXjhhrK[@  
C%{c?3 ;r  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ` #   
W3CLST(g  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) <r1(rM7;](  
365Vn3  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) #)iXr8  
Zt6!"#C  
积化和差 j-oMm?ugd  
JO&Zg/  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] xk_%S/<@  
"y=NZT  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] SE" ;$? V  
3G-T/Br  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] q{2 $ D;  
BS4wK  3%  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Tl.pum6=cX  
>f @+(OH\r  
诱导公式 q1n/WU%  
V 9-8'x  
　　sin(-α) = -sinα | q@=]ma  
g,>D?Ys "\  
　　cos(-α) = cosα Z tY3g0=  
S#DgUSbs  
　　sin(π/2-α) = cosα Uct8 ?  
O3Jf)A[!  
　　cos(π/2-α) = sinα QX\*xHo.b  
Dae\ -  
　　sin(π/2+α) = cosα s<[\fq  
Bx:FD T  
　　cos(π/2+α) = -sinα ?r,RbE94  
eCP6eZ^  
　　sin(π-α) = sinα oJ@-vd }R  
MYW uc98  
　　cos(π-α) = -cosα .[= c;  
n5un O t[  
　　sin(π+α) = -sinα cndE_  
Z~ ,^n1s  
　　cos(π+α) = -cosα bji<jI"Vg  
~]mr1&t'  
　　tanA= sinA/cosA ~0&h<}"V  
n$:Q!,Yp  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα j=G}dHMc  
,lBD(2  
　　tan（π/2－α）＝cotα yUg3uJMK  
pU;lvV<8  
　　tan（π－α）＝－tanα  UQ< `  
)XW;}1uG  
　　tan（π＋α）＝tanα ]pfX(J  
n6tO$Nk  
万能公式 {}#gzSB\  
y1db}^C.R5  
　　 ?'fZZu  
 #um,,L  
其它公式 t%ELyI  
b&5MmwjD  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 @;d?{V{/Y  
5P=swO*S  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 !IFW  
{M 'ie  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 C)l!gkO5,+  
*'J5@b  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 |<1z '2  
Vd(MFc  
　　对于任意非直角三角形,总有 KUO=\cM  
l#&Dg?`  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC W"ipK@(C  
QJa&dV="t8  
　　证: ')T_ v<Z  
qU5qrB  
　　A+B=π-C jRE`(\38  
:7?HY:_'  
　　tan(A+B)=tan(π-C) DdLLQ0  
x1R5Qe$V  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 4`emUOgLx  
~'J{/5h9  
　　整理可得 *YpTrwv`  
W#zVq(  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 3e%pl?y  
WwG9~*  
　　得证 )Soa4p,sD  
?r)rc Q  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 NX|>L[4P?  
Ml2%g="  
其他非重点三角函数 @{b2-]k>t=  
1Kjr7S6I$  
　　csc(a) = 1/sin(a) T`cT|oh  
S\c&2&  
　　sec(a) = 1/cos(a) 6zXF;_XV  
z]fg\Pw\  
　　 m"7WZ}|  
8$5]y!6  
双曲函数 i h)~5}J  
-'j#r  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 O0^>M?0B  
O|H(_K8bw  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 _@DJuai  
"1Zz}sV  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) R'4+&]n  
NrA*9~}_E\  
　　公式一： J}-H#/iY  
rF7w>a  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： i_D;05vf  
~aJ1)  
　　sin（2kπ＋α）= sinα T>)EmO0  
_8~* l)`  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 7(/3_48  
*H_71(GRVM  
　　tan（kπ＋α）= tanα Pui+1\9  
>a3Uz  
　　cot（kπ＋α）= cotα `V -IN0m  
"Vw]A/ NWN  
　　公式二： DeJL`cd_b9  
^>w7ezmo$  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： |13F tzU-  
7]xTdIBu   
　　sin（π＋α）= -sinα 3k~;. E9`  
K2Kg.vGi?  
　　cos（π＋α）= -cosα g"Zd;c|%/  
')G{(*)P[  
　　tan（π＋α）= tanα %Co5fX,:  
aMEm *A  
　　cot（π＋α）= cotα c~U%|)Ae  
-=7iq]e  
　　公式三： c~~|Et  
IVzpy[^  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 9&$ {Ne7Y  
I^oM1_-FQ  
　　sin（-α）= -sinα q ! pP<J2  
mpu %.SBR  
　　cos（-α）= cosα y&w{Oi|$  
4r25  
　　tan（-α）= -tanα #oV=f>X@  
F/)dH|  
　　cot（-α）= -cotα  @ 8?i  
{-A-CxP  
　　公式四： Yw _x DC  
9km .)Qz '  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： yl{a1K  
F],\zM!l}  
　　sin（π-α）= sinα ]tcZ4-Fv  
&\!K+ A:+  
　　cos（π-α）= -cosα jd J#V  
z$SgtIRbf  
　　tan（π-α）= -tanα B \imr  
[H@ ll-Z%  
　　cot（π-α）= -cotα Uw.$ouRR  
RHd `=k\  
　　公式五： F6 p8\^nA  
'6.Q\NBco  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： l d_E  
O3kB`[2  
　　sin（2π-α）= -sinα 2 ~V5\b  
rR>e  
　　cos（2π-α）= cosα Vw\z'cx  
e(H,}sM+'  
　　tan（2π-α）= -tanα dvR55Ui  
@pvsN^}h  
　　cot（2π-α）= -cotα p]<h-99 U  
AX$cQIq{6  
　　公式六： Gs B . 2  
ZF?6zyWJ  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： y%"#'XXi%  
Fj ~0]  
　　sin（π/2+α）= cosα XWPG.[/  
2~kDo5'|  
　　cos（π/2+α）= -sinα  ss}fr~  
y`TL/"ph  
　　tan（π/2+α）= -cotα [G},Th"qz  
.h_3p9)!  
　　cot（π/2+α）= -tanα e(`we_Et  
Kq zwI   
　　sin（π/2-α）= cosα $w"f?kB  
krn)iPB:}  
　　cos（π/2-α）= sinα R&yl\:LQ  
cYP ]9PU  
　　tan（π/2-α）= cotα [2i~> e;  
> l# f c  
　　cot（π/2-α）= tanα 9SNq$9:'  
cWR|:h  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 2*'u-zN  
O>/5_((d2  
　　cos（3π/2+α）= sinα :4gd''vH5  
([0q*o:2  
　　tan（3π/2+α）= -cotα /Nq)=  
wiE=)DE'  
　　cot（3π/2+α）= -tanα L?hT/@oF  
'\03'P.  
　　sin（3π/2-α）= -cosα +M[5P/  
`<2sof  
　　cos（3π/2-α）= -sinα eV&@|4#1  
y_>dU<YBJ  
　　tan（3π/2-α）= cotα |!nib.  
x;#QrR('  
　　cot（3π/2-α）= tanα UP*QyC]UV  
#UC LQRW  
　　(以上k∈Z) Q70?n^3*D  
}sB `_D  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ~SE]9~7 G  
YFKNCXu  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = %r3oED8  
}L#},i=n  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } IXdj=  
 lE8FE@  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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