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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 h]V=2~_  
4[n5mTn  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. wr70d7Lw{  
Y&}&(L  
　　1、三角函数本质： ? GY%L}6  
hcHvO >  
　　三角函数的本质来源于定义 f&Zkyi8zn  
Se@Y!f R  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 n=K?s~l(  
v&r[jAy  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 :w#:9^z  
8# aZq5}  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Kf(b#Sr-  
jesnKMV  
　　推导： $Al6j|v!C  
7 Shk]!p  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 +jB/e30DI  
y.ZNf1n  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ?< 7ue|vj  
gU47k<cR  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) /1CqV&+  
(#&U~h"<  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 (:ig=rP>  
#3l\{-m  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） r,4ks.-v  
x\Damc]8l'  
　　[1] 5< (l, T  
ya x!#F7  
　　两角和公式 yGcA_g,(  
)Ar8 _fC  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB mE&Irnjl  
0>%aB\Z  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  f-sV} E  
@<C.iVxe  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB `}[1-c:)  
wROryi  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB =>J!;k6WZ  
)kwD }@  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) o8Q!"LxE&  
V88,:[h  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) >#-VDD,_  
fJ//9?|_)  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  21S>r7a#$  
BL%7Op\<IY  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 1Me2ioJ  
)']7dC\BZ  
倍角公式 Os@B  
rT"w>n~6  
　　Sin2A=2SinA•CosA Dd'Z110o  
6k0^6H?C  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 V\;y 'G# ~  
j{iR|q'=  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） M LOe"`\  
8d6 %1B  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） }hEXsw wA  
#$(2'L:P  
三倍角公式 H\1Hde  
Pb=3m]=  
　　 #cn.{ _i  
eV&IMH"r]  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) H~[xNtTB  
23e<3y)r  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Fy/"O Q0  
<;omQM.Y  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) H<qj)rSXzr  
=9{%jz0z  
三倍角公式推导 'W @bOKK  
k"|{kes  
　　sin3a v9k6v`$?  
q CPjxs  
　　=sin(2a+a) / ] u0eO  
Q}}%Q6p  
　　=sin2acosa+cos2asina F  Aa/>  
||;OQ  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina KiuW9\  
$Rl*QL P  
　　=3sina-4sin³a p y^>A.TM  
hC86P]~  
　　cos3a eBSma`}*  
% aT3x  
　　=cos(2a+a) ~X${F;6  
rpA@t mc  
　　=cos2acosa-sin2asina (.=~%5j  
+Eiscc  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa c7So F]f  
;zTjCHssR@  
　　=4cos³a-3cosa w,zg"iY<  
|u0HOq1"W  
　　sin3a=3sina-4sin³a K*zQjMf-K  
'5YyR6  
　　=4sina(3/4-sin²a) xxz(+42O{  
a}Q2=S]{j  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] pWC%.P'U   
!H1+xV'  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Kg<*)w  
k!^}[.RXA  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 9|R<5Ch2R  
<I_%#*'"S  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 0tmC}\=a  
w^fN"  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) |_QU+m_x  
5AMphW(#  
　　cos3a=4cos³a-3cosa }'N`~  
qX[u Zi  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ~+j \g  
(?L\.Td  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 5)twG >   
B~tbH>rsoH  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) KTAUCao  
hUOo3 E>  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) &-Y1y\v  
+J 1WAlP  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} c~EDgO0  
x{pM+Y  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) (S f`C~&|c  
_>S]?  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] L~P 7Yh"  
sj73e%o1:  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] G|y6Y[  
\?Z ]8  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) =<!}/a{  
Wu.zYz@9b  
　　上述两式相比可得 QqB"u,&U  
GGi z  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) t7%'7>d!Um  
wLrR^O)V[  
半角公式 \xaFbD$W1Q  
\Rc`i/  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); :3y5O1u"  
w;rBmZK+)  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. !-%@@   
C'M[b! i  
和差化积 b raz#A  
..t _<  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] TjHL'B  
rfh?aVzz  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] XT0YfUC_  
!g*2c4  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] // "0k1D  
+Q >2/  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] g_QHje~c  
lkQ 7F  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) T7x;nm,@+  
I hJ$\vtg  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ^n xAg:  
rAnq4TIH  
积化和差 82~ f]  
fn!]TM]I-z  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] n q s)|i  
5r\qaS`b  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] !l9IV  
E#)[x7c_ @  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 'w<@q.daX  
"M#?  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Q!yg#8v+A  
:oNK2WP  
诱导公式 =(I!jZ=COr  
xxG6P=0V-<  
　　sin(-α) = -sinα Q5j+ /GJ  
S]#I .6  
　　cos(-α) = cosα VkBF]K.%c  
vl >ziQP  
　　sin(π/2-α) = cosα rWD n%\  
zIHF+X  
　　cos(π/2-α) = sinα J>&iNomx  
LN,8&?+Y  
　　sin(π/2+α) = cosα f^> yV  
vh_m8BT{  
　　cos(π/2+α) = -sinα jSFt25@e  
qXW_Xo>zs  
　　sin(π-α) = sinα 5T^kAYsr  
X( oN9mN  
　　cos(π-α) = -cosα A4pZw3!Z  
+nYF XLp  
　　sin(π+α) = -sinα IJv(@}n#  
3/p#SJy n  
　　cos(π+α) = -cosα %Xls=1"  
SilB2)U4  
　　tanA= sinA/cosA j^Md(LT  
:GH:KZp  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 2Ur#";D2  
y@LSQ}d  
　　tan（π/2－α）＝cotα u9\RfA<  
j:%+l  
　　tan（π－α）＝－tanα c C$0{xS  
r##1_  
　　tan（π＋α）＝tanα !Ey o  
Jj`vnj~(  
万能公式 \P0{UwtaF=  
<(bcu#_  
　　 P<A&&L985  
FGd8@`  
其它公式 Rp ^bX!K  
nHHYMKy8{  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 2%^c'M9^S  
CXjZ5V_  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 %t^g?`wOF  
U#2 -re4  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 fXWql9d1R  
Nvs@=a {  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 %SRY+;(a0  
>*Iy]F>  
　　对于任意非直角三角形,总有 kRgZ(q&V"  
iRi'J 7%go  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 4,JzM@!^p  
v&X%TKqKn  
　　证: GA1.ZjE   
vjX<7Y`o  
　　A+B=π-C <MJ>][/  
>NU 3KxfL  
　　tan(A+B)=tan(π-C) <8=w< -  
0]) *w  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) V=GHZ*&  
UkaP^*^Y  
　　整理可得 ?TvfLhqgq  
!7Xb* th  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC k:]%0  
}8`7/POVO  
　　得证 "% L-*nt  
1hZZqZ  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 AJWL| rW  
^5g' " 4  
其他非重点三角函数 Xf|b;.Fhw  
`=boMI;X^e  
　　csc(a) = 1/sin(a) % J,2QVl  
tl%Vi?l!J  
　　sec(a) = 1/cos(a) 5&CGr^YX|  
osd $B  
　　 aFCXxx99+  
Ic"J`5 z|  
双曲函数 0f%iCfQPZ  
<T}=j_}  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 7fI /g  
wfb"dDa-  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 %I8# Cpd  
T(g*?b  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) `"ZQ9Us~  
%7=6c{^oR  
　　公式一： .Si[:B0  
>I ] @[  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： F5^0NUQ  
sz U{   
　　sin（2kπ＋α）= sinα $ <!`DOP  
h-|v_]RW  
　　cos（2kπ＋α）= cosα :nEb[bZs  
T{/_Fq  
　　tan（kπ＋α）= tanα o&u#o+H^&C  
9#m%j<g40  
　　cot（kπ＋α）= cotα xk&n~`hp  
mwj0l8^C  
　　公式二： #cO#oj/]n  
./({J   
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： C["*#vUVD  
MW4_EE]h  
　　sin（π＋α）= -sinα T+hdtzd5  
aI TQ),-$  
　　cos（π＋α）= -cosα y-.U1nJY  
&#}y(5m  
　　tan（π＋α）= tanα f1dRrOC  
wc18{ )/  
　　cot（π＋α）= cotα l#, #}4NX  
V}q"M 4@  
　　公式三： n0: 5y  
Iz%: ,  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： g+b| ~L  
?R< T  
　　sin（-α）= -sinα w_xd5Gs  
FE9H t`  
　　cos（-α）= cosα zX)[Z@ b  
uQur% I  
　　tan（-α）= -tanα e2Niq|  
H$TR<IdW  
　　cot（-α）= -cotα !l:_a(0  
D;GNH0N^  
　　公式四： #APCMz_l  
< }OdQX{%  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： mR [(l\  
irw48Pz(  
　　sin（π-α）= sinα 0\] &Cr"  
y) @IE<uA~  
　　cos（π-α）= -cosα dU=H$M!89  
m wY%dy$  
　　tan（π-α）= -tanα \| A 3:  
%s aO1!w  
　　cot（π-α）= -cotα 4G >q{sb1  
2S4mxiUvG  
　　公式五： |?[20  
;:'+3x?_A  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： `o9TuUKaQz  
\ P/;jW >v  
　　sin（2π-α）= -sinα %FCMe]  
Lc]| Di^>  
　　cos（2π-α）= cosα \<Z T'h$  
u-(YZ:  
　　tan（2π-α）= -tanα EXk^k%  
AGzN<S  
　　cot（2π-α）= -cotα f*E%5{  
}aqphJ  N  
　　公式六： ;VTo (  
u`>S!o!|g  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ;iIC{P}+  
:g].84y  
　　sin（π/2+α）= cosα u0"`?Xz  
*e4RM*|  
　　cos（π/2+α）= -sinα m;<\g_@  
[wnzec  
　　tan（π/2+α）= -cotα S/s3HEB  
fnw?PA~S  
　　cot（π/2+α）= -tanα 5\6r+I)  
7ozcK [  
　　sin（π/2-α）= cosα *4`73Uk:  
BHNhzp}  
　　cos（π/2-α）= sinα &:t5x!DDV  
ElF]eRz|m  
　　tan（π/2-α）= cotα <bB7Y>9  
n5.wUCf  
　　cot（π/2-α）= tanα FbX.O5bGl  
O0exN`  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Xwh+Y"j  
}KNOvK  
　　cos（3π/2+α）= sinα 9'&x>{L  
Q< '|Eq ~  
　　tan（3π/2+α）= -cotα x*nWhL>  
D>w^|z3/  
　　cot（3π/2+α）= -tanα F.X}G=  
-<O-.3LD+  
　　sin（3π/2-α）= -cosα rDiajj=OM  
xB9ogCV>%  
　　cos（3π/2-α）= -sinα yM&;w  
'>z_jDO  
　　tan（3π/2-α）= cotα 9,2zqZOU  
]|(RaV  
　　cot（3π/2-α）= tanα z B* ;EZP  
VT BvbS~  
　　(以上k∈Z) e/oHa  
La"k,Pxn,^  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 aZt$`Zz$  
Yf2<G&'5  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = I#@jD+N~  
et"@>"=qj  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } I`67KD3<U  
^Eu% 8  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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